穿越频率，带宽和动态的关系

开环/闭环函数波特图的关系

为简化问题，以单位负反馈系统为例说明。环路，loop gain，也就是我们常说的"开环传递函数"就是G，整体的闭环传递函数就是T。

在工程习惯中，G会被直接用来做loop gain环路分析，观察其穿越频率ωc，增益相位裕度GM，PM；而T在基于频域设计的方法论中，很少被直接关注，但T才是最直接反应闭环后，输入输出对应频率特性的。

通过开环函数G的波特图直接设计系统性能，其实是以G间接预估闭环函数T的频率特性，从而完成对T的设计。

（此处概念混淆，以及不清楚为何引入开环传递函数判断闭环系统稳定性的读者，请自行复习“自动控制原理”课本中关于稳定性和频率特性的章节）

以典型一阶和二阶系统展示G和T的关系：

• 结论：

  1. G的增益超过0dB(增益大于1)的低频段，由于T=G/(1+G) （注意是复数计算） ，T的增益会接近1(0dB)；越低频增益越高，T的增益约接近1(0dB)，越能对低频信号实现无误差地跟踪。

  2. 0dB以下的高频段，G的增益越低，那么T对应的增益也会越低。

  3. G的相位体现在 T=G/(1+G) 的复数计算中，相位偏移较多时，有可能在T的该频段造成谐振峰.

穿越频率和带宽的关系

回顾定义如下：

• 开环截止频率ωc也称为穿越频率(crossover frequency)，是开环G幅频特性曲线穿越0dB（增益=1）时，对应的频率；
• 闭环截止频率ωb也称为带宽频率(bandwidth)，是闭环T幅频特性下降到-3dB（增益=1/根号2）时，对应的频率。

那么两者的关系，推导如下：（注意在带宽ωb附近，一般的控制系统都有积分环节存在（如PI），G的相角在-90°-180°，故G中α(ωb)<0成立）

• 结论：

稳定的负反馈系统，开环系统的穿越频率和闭环系统的带宽很接近，存在ωb>ωc且有同向性。工程上近似时，时常把两者直接混用。

带宽和动态： 窥一斑，能否见全豹？

由闭环系统T的带宽推测动态性能最为直观：带宽越高，越多频率分量的信号放大增益在-3dB以上，可以被有效跟踪，因此动态性能越好。但是，尤其注意以下：

• 结论：

穿越频率/带宽描述的仅仅是频域上一个点的信息，是“窥一斑而见全豹”的做法， 仅可当作指导性的规律揭示， 并不能直接用于比较两个系统的动态！

动态响应由全频率段的幅频/相频特性共同决定。

给出如下例子，让我们加深对带宽和动态关系的理解。

• 例子1： 带宽小的 系统1 ，动态反而快于带宽大的 系统2 ！！！

究其原因，正是因为恰在带宽附近的频段，系统2的增益高于系统1，但在其他频段，系统1的增益均高于系统2。

• 例子2：相同的带宽和低频增益，导致从0到1的建立时间近似相同，但由于高频增益不同，动态响应的速度完全不同（期间的凹凸特性）：

• 例子3：相同的带宽和高频增益，但由于低频增益谐振峰的不同，动态响应的速度完全不同（包括超调）：

那么，“带宽越大，动态越快” 这个结论是怎么来的？

• 例子4：相同的系统结构（频率特性的全局分布一致），带宽越高，动态越快：

可以看到，当且仅当你要做比较的若干个系统，其有相同（或相近）的系统结构，也即频率特性的全局分布一致（或类似）时，才有老生常谈的这句经典传说，被奉为圭臬。

当设计环路的补偿器时，我们在尽可能提高带宽的同时，不可能再刻意压低其他部分频段的增益，因此，用这句话作指导性的设计方向仍然是有意义的。