浮点运算的尾数部分是如何转变成二进制的？

正文

然后看到这篇关于浮点数的文章，希望大家看了之后有所启发。

想一下，为什么第一个打印的和预设值不同，但是第二个是相同的？

如图：

尾数部分是如何转变成二进制的？

前言

很多人在初学写程式时都会遇到所谓的浮点误差，如果你到目前都还没被浮点误差雷过，那只能说你真的很幸运XD。

以下图Python 的例子来说0.1 + 0.2并不等于0.3，8.7 / 10也不等于0.87，而是0.869999…，真的超怪der

但这绝对不是什么神bug，也不是Python 设计得不好，而是浮点数在做运算时必然的结果，所以即便是到了Node.js 或其他语言也都是一样。

电脑如何储存一个整数(Integer)

在讲为什么会有浮点误差之前，先来谈谈电脑是怎么用0 跟1 来表示一个整数，大家应该都知道二进制这个东西：像101代表2² + 2⁰ 也就是5、1010代表2³ + 2¹ 也就是10。

如果是一个unsigned 的32 bit 整数，代表他有32 个位置可以放0 或1，所以最小值就是0000...0000也就是0，而最大值1111...1111代表2³¹ + 2³⁰ + … + 2¹ + 2⁰ 也就是4294967295。

从排列组合的角度来想，因为每一个bit 都可以是0 或1，整个变数值有2³² 种可能性，所以可以精确的表达出0 到2³²-1 中任一个值，不会有任何误差。

浮点数(Floating Point)

虽然从0 到2³²-1 之间有很多很多个整数，但数量终究是有限的，就是2³² 个那么多而已；但浮点数就大大的不同了，大家可以这样想：在1 到10 这个区间中只有十个整数，但却有无限多个浮点数，譬如说5.1、5.11、5.111 等等，再怎么数都数不完。

但因为在32 bit 的空间中就只有2³² 种可能性，为了把所有浮点数都塞在这个32 bit 的空间里面，许多CPU 厂商发明了各种浮点数的表示方式，但若各家CPU 的格式都不一样也很麻烦，所以最后是以IEEE发布的IEEE 754作为通用的浮点数运算标准，后来的CPU 也都遵循这个标准进行设计。

IEEE 754

IEEE 754 里面定义了很多东西，其中包括单精度（32 bit）、双精度（64 bit）跟特殊值（无穷大、NaN）的表示方式等。

正规化

以8.5 这个符点数来说，如果要变成IEEE 754 格式的话必须先做正规化：把8.5 拆成8 + 0.5 也就是2³ + 1/2¹，接着写成二进位变成1000.1，最后再写成1.0001 x 2³，跟十进位的科学记号满像的。

单精度浮点数

在IEEE 754 中32 bit 浮点数被拆成三个部分，分别是sign、exponent 跟fraction，加起来总共是32 个bit。

sign：最左侧的1 bit 代表正负号，正数的话sign 就为0，反之则是 1。

exponent：中间的8 bit 代表正规化后的次方数，采用的是超127格式，也就是3 还要加上127 = 130。

fraction：最右侧的23 bit 放的是小数部分，以1.0001 来说就是去掉1. 之后的000。

所以如果把8.5 表示成32 bit 格式的话就会是这样：

这图我画超久的，请大家仔细看XD。

什么情况下会不准呢？

刚刚8.5 的例子可以完全表示为2³+ 1/2¹，是因为8 跟0.5 刚好都是2 的次方数，所以完全不需要牺牲任何精准度。

但如果是8.9 的话因为没办法换成2 的次方数相加，所以最后会被迫表示成1.0001110011… x 2³，而且还会产生大概0.0000003 的误差，好奇结果的话可以到IEEE-754 Floating Point Converter网站上玩玩看。

双精度浮点数

上面讲的单精度浮点数只用了32 bit 来表示，为了让误差更小，IEEE 754 也定义了如何用64 bit 来表示浮点数，跟32 bit 比起来fraction 部分大了超过两倍，从23 bit 变成52 bit，所以精准度自然提高许多。

以刚刚不太准的8.9 为例，用64 bit 表示的话虽然可以变得更准，但因为8.9 无法完全写成2 的次方数相加，到了小数下16 位还是出现误差，不过跟原本的误差0.0000003 比起来已经小了很多。

类似的情况还有像Python 中的1.0跟0.999...999是相等的、123跟122.999...999也是相等的，因为他们之间的差距已经小到无法放在fraction 里面，所以就二进制的格式看来他们每一个bit 都一样。

解决方法

既然无法避免浮点误差，那就只好跟他共处了（打不过就加入？），这边提供两个比较常见的处理方法。

设定最大允许误差ε (epsilon)

在某些语言里面会提供所谓的epsilon，用来让你判断是不是在浮点误差的允许范围内，以Python 来说epsilon 的值大概是2.2e-16。

所以你可以把0.1 + 0.2 == 0.3改写成0.1 + 0.2 — 0.3 <= epsilon，这样就能避免浮点误差在运算过程中作怪，也就可以正确比较出0.1 加0.2 是不是等于0.3。

当然如果系统没提供的话你也可以自己定义一个epsilon，设定在2 的-15 次方左右。

完全使用十进位进行计算

之所以会有浮点误差，是因为十进制转二进制的过程中没办法把所有的小数部分都塞进fraction，既然转换可能会有误差，那干脆就不要转了，直接用十进制来做计算！！

在Python 里面有一个module 叫做decimal，它可以帮你用十进位来进行计算，就像你自己用纸笔计算0.1 + 0.2 绝对不会出错、也不会有任何误差（其他语言也有类似的模组）。

自从我用了Decimal 之后不只bug 不见了，连考试也都考一百分了呢！

虽然用十进位进行计算可以完全躲掉浮点误差，但因为Decimal 的十进位计算是模拟出来的，在最底层的CPU 电路中还是用二进位在进行计算，所以跑起来会比原生的浮点运算慢非常多，所以也不建议全部的浮点运算都用Decimal 来做。

总结

回归到这篇文章的主题：「为什么浮点误差是无法避免的？」，相信大家都已经知道了。

至于你说知道IEEE 754 的浮点数格式有什么用吗？好像也没什么特别的用处XD，只是觉得能从浮点数的格式来探究误差的成因很有趣而已，感觉离真相又近了一点点。

而且说不定哪天会有人问我「为什么浮点运算会产生误差而整数不会」，那时我就可以有自信的讲解给他听，而不是跟他说「反正浮点运算就是会有误差，背起来就对了」

来源：https://medium.com/starbugs/see-why-floating-point-error-can-not-be-avoided-from-ieee-754-809720b32175 版权归原作者或平台所有，仅供学习参考与学术研究，如有侵权，麻烦联系删除~感谢

审核编辑：刘清