张量t-product积还有另一种实现方式？

very amazing啊，这说明什么，这说明我们想要实现 t-product积 不用费劲的去搞循环矩阵，也不用去搞什么分块展开再折叠，我们要做的只是， 傅立叶变换--相乘--傅立叶逆变换 ！！！

** PART.1 流程讲解**

原本的t-QR分解流程：

** PART.2 MATLAB实现**

原始版本t-product

function C=t_prod(A,B)
% @author:slandarer
% 用于进行张量t-product积
% A*B=fold(bcirc(A)·unfold(B))

% 获取张量大小
[l,p,n]=size(A);dimA=[l,p,n];
[p,m,n]=size(B);dimB=[p,m,n];
dimC=[l,m,n];

if dimA(2)~=dimB(1) || dimA(3)~=dimB(3) 
    error('Inner tensor dimensions must agree.');
end

% 对A，B进行unfold展开操作
ufold_A=reshape(permute(A,[2,1,3]),dimA(2),[])';
ufold_B=reshape(permute(B,[2,1,3]),dimB(2),[])';

% 对A构建循环矩阵
bcirc_A=zeros([l*n,p*n]);
for i=1:n
    bcirc_A(:,(1:p)+(i-1)*p)=circshift(ufold_A,l*(i-1),1);
end

% bcirc(A)·unfold(B)
AB=bcirc_A*ufold_B;

% 还原张量维度
C=ipermute(reshape(AB',dimC([2,1,3])),[2,1,3]);
end

fft版本t-product

function C=t_prod_fft(A,B)
% @author:slandarer
% 基于快速傅立叶变换的张量t-product积

if size(A,2)~=size(B,1) || size(A,3)~=size(B,3) 
    error('Inner tensor dimensions must agree.');
end

fftA=fft(A,[],3);
fftB=fft(B,[],3);
fftC=zeros([size(A,1),size(B,2),size(A,3)]);
for i=1:size(A,3)
    fftC(:,:,i)=fftA(:,:,i)*fftB(:,:,i);   
end
C=ifft(fftC,[],3);
end

比较测试

% test t-product
addpath('.t_product')

A=zeros(2,3,3);
A(:,:,1)=[1  2  3; 3  4  5];
A(:,:,2)=[5  6  7; 7  8  9];
A(:,:,3)=[9 10 11;11 12 13];

B=zeros(3,2,3);
B(:,:,1)=[1  2; 3  4; 5  6];
B(:,:,2)=[5  6; 7  8; 9 10];
B(:,:,3)=[9 10;11 12;13 14];


tic
C1=t_prod(A,B)
toc

tic
C2=t_prod_fft(A,B)
toc

C1(:,:,1) =

438 492

564 636

C1(:,:,2) =

438 492

564 636

C1(:,:,3) =

294 348

420 492

历时 0.005764 秒。

C2(:,:,1) =

438 492

564 636

C2(:,:,2) =

438 492

564 636

C2(:,:,3) =

294 348

420 492

历时 0.001014 秒。

可以发现结果完全相同，而fft版本代码更简短，而且因为省去了循环矩阵创建等操作，运行速度也相较于原始版本更快。