连续时间系统的时域分析

一、引言

系统数学模型时域表示：端口（输入-输出）描述（一元n阶微分方程）与状态方程描述（n元联立一阶微分方程）

二、系统数学模型（微分方程）的建立

建立方程式： 元件约束特性 + 网络拓扑约束 （KVL+KCL）

三、用时域经典法求解微分方程

四、起始点的跳变——从0-到0+状态的切换

五、零输入响应与零状态响应

六、冲激响应与阶跃响应

七、卷积

八、卷积的性质

九、利用卷积分析通信系统多径失真的消除方法

解卷积求出回波系统逆冲激响应函数→激励卷积回波系统冲激响应函数卷积回波系统逆冲激响应函数=激励本身

十、用算子符号表示微分方程

十一、总结

LTI 系统分析方法包括时间域和变换域两方面的问题。时域直接求解系统微分、积分方程， 直观且物理概念清晰 。系统数学模型的时域表示一般用端口描述与状态方程描述的方法。本章主要介绍的是端口描述的方法。一般根据元件的约束特性和网络拓朴约束构建系统的数学模型，即微分方程。可以采用 时域经典法 、零输入零状态法和卷积的方法来求解系统的微分方程。

时域经典法将微分方程的全解分解为齐次解与 特解 。采用高数所给结论求出解的形式并根据条件求出待定系数。根据其求解过程，齐次解与特解具有很清晰的物理意义： 齐次解对应完全由系统自身特性决定其形式（特征根与自然频率）的自由响应 （求出形式及其特征根，当然最后的系数也要根据条件与激励求出来）， 特解对应系统特性与外加激励共同决定的强迫响应 。因此时域经典法具有清晰的物理概念，然而求解过程较为麻烦。同时，还需考虑 起始点的跳变 ，即0-到0+状态的切换。 跳变由激励的突然接入引起 。 起始状态 （0-）表达的是 系统过去的信息 ， 初始状态 （0+）表达的是 接入激励后刚开始的初始条件 （作为求解微分方程的初始条件）。其可以根据 系统内部储能的连续性 （电容与电感特性）或冲激函数匹配法来确定。

零输入零状态法则由上述起始条件与初始条件引出。 零输入响应是没有外加激励信号，只由起始状态（系统储能）所产生的响应 ，没有激励的接入因此 不会产生跳变 。而 零状态响应则不考虑起始时刻系统储能的作用（认为原来系统没有能量），由系统本身外加激励信号所产生的响应 ，因此 可能发生跳变 （后面引入卷积后可以用卷积方法求解）。要注意自由响应与零输入响应的区别。其 均满足齐次方程的解 ，但 零输入响应仅由系统结构和起始储能状态决定 ，而 自由响应的形式则由系统结构决定，其系数需要根据激励信号和起始储能状态求出 。

卷积方法则是 将信号分解为冲激信号之和，借助系统冲激响应来求解系统对任意激励信号的零状态响应 。首先引入系统的 冲激响应 ，即单位冲激信号作为激励，系统产生的 零状态响应 （可见不考虑储能）。根据 线性时不变系统的叠加原理 ，能够得到系统接入不同激励产生的零状态响应（从δ(t)到e(t)，从h(t)到r(t)，推导过程就是卷积能够求解零状态的原因）。引入卷积能够更方便地求解系统的 零状态响应 （详见第四章拉氏变换部分，根据数学推导，引入卷积能够很巧妙地跳过起始条件到初始条件的繁琐求解，将这一变化包含了进去）。卷积将一个函数拆分成一个个的冲激， 揭示了系统某一时刻的输出是由无数个单一输入共同作用（叠加）的结果 。而这种结果与之前所有时刻响应均有关的积分运算过程在信号处理上相当于一种 平滑与展宽的滤波 。卷积的详细物理意义与应用见后续傅里叶变换与拉氏变换部分的介绍。