离散傅里叶变换DFT的定义及计算方法

3.1 背景

为什么需要定义一种“新”的变换？

计算机处理的两个基本条件：第一，只能处理离散的数据（时域和频域都要离散）；第二，要有限长。

DTFT，时域上离散，但频域是连续的；DFS，时域频域都是离散的，但同时又都是周期的，周期序列长度为无限长。但同时我们也注意到，周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它的离散傅里叶级数也适用于有限长序列，这就得到有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）。

所以， DFT并不是一种新的变换 。它只是将DFS时域和频域上都取一个周期而已。**DFT正反变换的定义式与DFS相同，只是加了一个取值范围的限定而已。**换汤不换药。

3.2 DFT的定义及物理含义

重点：DFT与DFS、DTFT的关系

DFT不是序列x(n)的真正的频谱。x(n)的真正的频谱是DTFT，DFT只是对其真正频谱的一个周期上的离散抽样值。

3.3 DFT的计算

重点：DFT的两种计算方法。

下面的例题，分别用这两种方法进行求解。

对于本题来说，方法二特别直观，便于理解DFT与DTFT的关系。

可见，同一个序列的不同点数的DFT，得到的结果不同。DFT的点数N越大，X(k)越能反映连续频谱的形状。

当DFT的点数N＞序列的长度N0时，相当于在序列后面补上N-N0个零，故称为” 补零DFT “。