IIR滤波器的特点及设计方法

一 IIR滤波器的特点及设计方法

1. IIR滤波器的特点

我们已经详细阐述了两种类型的滤波器——FIR滤波器及IIR滤波器的概念及区别

看下图也可以，两种滤波器的差异，一目了然。

图1

2. IIR滤波器的设计方法

先思考一个问题，我们前面学到的FIR滤波器的设计方法，能不能应用于IIR滤波器？如果能，那该多好啊！

很可惜，答案是否定的。FIR滤波器的设计方法，完全、一丁点也不适用IIR滤波器。为什么呢？FIR滤波器的单位冲激响应 h(n) 是有限长的，h(n)就是其系统函数H(z)的系数（分子多项式系数，因为分母为1）。而IIR滤波器则完全不同，它的h(n) 是无限长的，其数值与系统函数H(z)的系数（分子多项式系数、分母多项式系数）没有直接的对应关系。

也就是说，这两种滤波器的设计思路是完全不同的。

我们回顾一下，FIR滤波器的设计，是从不可物理实现的理想滤波器出发，从理想滤波器的单位冲激响应出发（窗函数法）、或者从其频率响应出发（频率取样法），进行处理，得到可物理实现的FIR滤波器。其设计过程，更侧重用到数字信号处理的一些基本理论（如时频域的对应关系、频谱泄露、混叠等概念）。

而IIR滤波器设计，则是更侧重数学的角度，用一些形状合适的数学函数，通过调节函数中的某些参数，来直接逼近滤波器的幅度函数，使其满足性能指标的要求。其目标依然是确定系统函数H(s)分子分母多项式的阶数以及系数，也就是图1中的各个ai和bi。

IIR的设计方法有两种：

第一种方法，称为“模拟原型法”，又称为“间接设计法”。先设计模拟原型滤波器H(s)，再利用模拟系统数字化的方法转换为数字滤波器H(z)，如果转换？是我们本章的学习重点。

第二种方法，称为“计算机辅助设计法”，又称为“直接设计法”。是利用优化技术，借助计算机进行大量迭代运算，在某种最优化准则下逼近所需要的频率响应。这其实是个数学问题。我们这里不多费口舌。

我们重点学习“模拟原型法”。

2. 模拟原型法的设计步骤

第一步：根据实际需求，确定数字滤波器的设计指标。

所谓实际需求，也就是对哪些频段的频率成分需要滤除（即阻带），哪些频段需要保留（即通带）。以及滤除的干净程度（阻带最小衰减）、保留的不损失程度（通带最大衰减）。

这两个衰减，通常以dB为单位。而通带和阻带的截止频率（或称为边沿频率）通常是“模拟频率”，所以我们设计滤波器的第一步，就是需要将“模拟频率"，转换为“数字域频率”，公式如下：

这是学习数字信号处理的基础，默认大家已经掌握了哈。

第二步：设计模拟原型滤波器

为什么叫“原型”，因为我们的目标是设计数字滤波器，所以这里设计的模拟滤波器只是一个中间存在，故而称为“原型”。

既然是设计模拟滤波器，通带、阻带当然要以模拟频率来表示，所以我们首先面临一个疑问：数字滤波器的通带阻带是以数字域频率来表示的，与模拟原型滤波器的通带阻带（模拟角频率来表征的）有何对应关系呢？

这个疑问，我们先放一放，后面会解决的，这也是本章的一个重要知识点。

第三步：转换为数字滤波器

如何转换？是本章学习的重点。我们将重点学习两种转换方法，分别称为“冲激响应不变法”和“双线性变换法”。